로렌츠 변환 활용

이전 "특수상대성 이론 요약" 에서 다룬 로렌츠 변환과 쌍곡함수 등에 대한 보충 심화학습 및 직관력을 높일 수 있는 방법이

이번 블로그 주제입니다!

여기서는 약간 쉬운 편법(?)으로 로렌츠 변환(Lorentz transformation)을 유도하고,

이를 활용하여 예제 문제를 푸는 것으로써 특수상대성 이론의 이해도와 친밀도를 높이도록 하겠습니다!^^;

목표는 그랬으나 결과적으로 거의 나의 공부하면서 정리하는 목적이 되 버렸네요. 에고,,,

 

① 로렌츠 변환(Lorentz transformation)을 유도, 쌍곡함수

점P, Q에서 일어난 사건들을 정지 기준틀 S와 움직이는 기준틀 S'에 있는 관측자가 측정함

시간지연, 길이수축을 포함하면서, 모든 속도에 대해 성립하고 S에서 S'으로 좌표를 변환할 수 있는 식을 구해보자! 

(at S')   x' = γ(x - vt)   (at S)

역변환을 해보면, 좌표계 S'에서 좌표계 S를 보면 -v로 움직인다고 볼 수 있으므로 x = γ(x' + vt') 이다.

두 식을 대입하여 정리하면, t' = γt + (1-γ²)/(γv) x

 

이때, 광속은 불변이므로 x/t = c , x'/t' = c 이고,

위식을 x' = ct' 에 대입하면, γ(x - vt) = cγt + c(1-γ²)/(γv) x

이를 정리하면, x = (γ²v² + cγ²v)/(γ²v + cγ² - c) = ct

더 정리하면, γ = 1/√(1-v²/c²)

t' = γt + (1-γ²)/(γv) x 에 구해진 γ를 대입하면, t' = γ(t - (v/c²)x)

 

기준틀 S'에서의 좌표를 S의 좌표로 역변환하고자 한다면, x = γ(x' + vt')   ,  t = γ(t' + (v/c2)x')

 

이렇게 구한 변환식은 행렬로 표현할 수 있다.

[c△t' ,] = [[γ , -βγ],]@[c△t , ]     ,    [c△t , ] = [[γ , βγ], ]@[c△t' , ]

[△x'   ]    [-βγ,   γ]]     [△x    ]     ,    [△x    ]    [[βγ,   γ]]    [△x'    ]

여기서 (c△t')² - (△x')² = (c△t)² - (△x)² ,

급속도(rapidity) η , γ = cosh(η) , β = v/c = tanh(η) , βγ = sinh(η)

따라서, 로렌츠 변환행렬(Lorentz boost) Λ = [[cosh(η) , sinh(η)], [sinh(η), cosh(η)]] 으로 표현할 수 있고,

Λ(η1)Λ(η2) = Λ(η1+η2)  (∵ 쌍곡함수의 덧셈정리 이용)

와 같은 쌍곡함수 성질이 있다.

 

상대성이론에서 급속도 η은 단위 쌍곡선을 통해서 쌍곡각도를 정의한다.

쌍곡각도(Hyperbolic Angle)

3차원 공간을 다루는 유클리드 기하학(Euclidean Geometry)에서는 공간 성분의 제곱합인 거리가 보존되고,

s² = x² + y² + z²

반면 민코프스키(Minkowski space) 시공간(spacetime)에서는 각 관성 좌표계마다 빛이 이동한 거리와 물체가 이동한 거리 간의 차가 보존된다. 이는 광속 불변에 이한 것이다.

s² = (ct)² - x² = (ct')²

그렇기에 어떠한 점(사건, event)은 쌍곡함수 위에 있고,  4차원 시공간에서의 두 세계선(world line)이 이루는 각도가 쌍곡각도인 것이다.

 

② 로렌츠 변환행렬(Lorentz boost)을 이용한 예제 문제 풀기

최신대학물리학I 5판 예제 9.4> 두 우주선 A, B가 서로 마주보고 가까워지게 움직인다. 지상에 있는 관측자가 측정한 우주선 A의 속도는 0.75c , B의 속도은 -0.85c 이다. 우주선 A에 있는 우주인이 측정한 우주선 B의 속도를 구하여라?

<정답> tanh(ηb - ηa) = -0.977c

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def lb(eta) : return np.array([[np.cosh(eta), np.sinh(eta)],
                               [np.sinh(eta), np.cosh(eta)]])

v = 0.75
u = -0.85
c = 1

eta_A = np.arctanh(v/c)
eta_B = np.arctanh(u/c)

t, x = 1, 0   
t0, x0 = lb(eta_B)@[t, x] 
tp, xp = lb(-eta_A)@[t0, x0]
# tp, xp = lb(eta_B-eta_A)@[t, x]
print('tanh(β-α) = up/c : ', np.tanh(eta_B-eta_A))

print('[t, x] :', [np.float16(t), np.float16(x)], ', v =', x/t)
print('[t0, x0] :', [np.float16(t0), np.float16(x0)], ', v0 =', x0/t0)
print('[tp, xp] :', [np.float16(tp), np.float16(xp)], ', vp =', xp/tp)

fig, ax = plt.subplots()
plt.quiver(0, 0, x, t, width=0.005, color='r', scale_units='xy', scale=1)
plt.quiver(0, 0, t, x, width=0.005, color='r', scale_units='xy', scale=1)
plt.quiver(0, 0, x0, t0, width=0.005, color='g', scale_units='xy', scale=1)
plt.quiver(0, 0, t0, x0, width=0.005, color='g', scale_units='xy', scale=1)
plt.quiver(0, 0, xp, tp, width=0.005, color='b', scale_units='xy', scale=1)
plt.quiver(0, 0, tp, xp, width=0.005, color='b', scale_units='xy', scale=1)
plt.plot([0, 5], [0, 5], 'k:')
plt.plot([0, -5], [0, 5], 'k:')

plt.axis('square')
plt.xlim(-5, 5)
plt.ylim(-1, 5)

plt.text(xp, tp, r"$x'^0$", fontdict={'size': 16}, ha='center', va='center')
plt.text(tp, xp, r"$x'^1$", fontdict={'size': 16}, ha='center', va='center')
plt.text(x, t, r'$x^0$', fontdict={'size': 16}, ha='center', va='center')
plt.text(t, x, r'$x^1$', fontdict={'size': 16}, ha='center', va='center')
plt.text(5.2, 5.2, 'light world-line' , fontdict={'size': 12}, ha='center', va='center')
plt.text(-5.2, 5.2, 'light world-line' , fontdict={'size': 12}, ha='center', va='center')

plt.grid(True)
plt.show(block=False)

로렌츠 변환행렬을 이용한 상대속도 계산

이를 통해서 검증하거나 유추할 수 있는 것은?!

1. 민코프스키 기하학(Minkowski Geometry)에서는 거리와 시간을 "쌍곡선"을 통해서 결정한다!

s² = t² - x² = t'² - x'² = 1 , (t, x) = (t' cosh(η), t' sinh(η))

2. 관성계의 속도가 증가함에 따라서 빛의 세계선과 가까워지고, 시간축과 공간축이 빛의 세계선을 기준으로 대칭한다.

3. 급속도의 개념은 두 개 이상의 부스트 변환을 결합하는데 있어서 특히 유용하다.

lb(eta_B-eta_A) = lb(eta_B)*lb(-eta_A)

 

③ 메트릭 텐서(metric tensor)

특수상대론에서는 거리가 "쌍곡선" 형식으로 정의되기에 "로렌츠 불변량(Lorentz invariant)"이 거리가 되고,

ds² = dt² - dx²   In Minkowski

각각의 불변량(거리)의 미분이 미소 길이 요소되고, 이를 일반화하면 다음과 같을 것이다.

ds² = ∑ g_ij dxⁱ dx^j

이때, gij를 "메트릭 텐서"라고 한다. 이는 함수일 수도 있지만, 특수상대론과 유클리드 공간에서는 상수 이다.

  ㅇ 유클리드 공간의 metric tensor

    ds² = dx² + dy²  →   g_xx=1 , g_yy=1, g_xy = g_yx = 0

    gij = [[1, 0], [0, 1]]

  ㅇ 특수상대론 metric tensor

     ds² = dt² - dx²  →   g_tt=1 , g_xx=-1, g_tx = g_xt = 0

     gij = [[1, 0], [0, -1]]

그럼 도대체 "메트릭 텐서"는 어떤 의미와 특징이 있나

1. 메트릭 텐서의 의미는, 기저(basis) 벡터의 내적 값이다.

2. 메트릭 텐서를 구하면, 주어진 시공간(좌표계)을 완벽하게 표현할 수 있다. 

3. 메트릭 텐서의 성분은 대칭 핼렬이다. 

4. 메트릭 텐서를 사용하여 벡터(반변)를 1-form(공변)으로 변환할 수 있다.   V_i = g_ij V^j

 

 

<참고한 사이트>

1. [특수상대론] 특수상대론과 기하학 : 네이버 블로그 (naver.com)

[특수상대론] 특수상대론과 기하학

2. 7강) 로렌츠 변환 : 네이버 블로그 (naver.com)

7강) 로렌츠 변환

3. 물리학 상식 : 로렌츠 변환과 민코프스키 공간 (tistory.com)

물리학 상식 : 로렌츠 변환과 민코프스키 공간

4. 로렌츠 변환과 유도 과정 : 네이버 블로그 (naver.com)

로렌츠 변환과 유도 과정

5. 로렌츠 변환의 의미 (tistory.com)

로렌츠 변환의 의미

 

아이고 머리가 지끈지끈 아프다~

생각보다 실용적이지 못한 것 같아 아쉽고, 명확하게 핵심을 붙잡지 못하고 두리뭉실하게 마무리한 느낌이라 찜찜하다.

그러나 어쩌겠는가! 더 이상 가혹행위는 중지하고,,, 상대성이론은 이것으로 종료해야겠다. 하하하