전자기파(Electromagnetic Wave) 시현

한창 블로그에 애착을 가지면서 포스팅에  강박을 느끼는 와중에, 요즘 뭘 하기가 상당히 귀찮아지고 게을러졌습니다.

포스팅할 소재는 몇 개 머릿속에 맴 돌고 있는데,,, 글 쓰는게 힘도 들고,,,

방문자수는 점점 낮아지고, 호응도 떨어져서 신바람이 안 납니다. 뭐든지 신이 나야되는데 말이죠!! 

근데 다들 휴가 갔나요???ㅎ

그래도 뭐,,, 어쩔수 있나요. 갈 수 있는데까지 쭈욱 갑니다!

 

이번에는 앞서 언급한 4개의 맥스웰 방정식(Maxwell's equations) 으로 부터 파동방정식을 이끌어 내고,

우리가 알고 있는 파동방정식의 해(sine wave)를 통해 전자기파 특징을 검증하고 이를 시현도 해 보겠습니다.

파동방정식 유도는 요약적으로 정리만 하기로 하고, 대신 이 식의 특징과 시현에 집중해 주기를 바랍니다.

 

(쿨롱의 법칙)                          ▽ · D = ρ

(패러데이의 법칙)                   ▽ × E = - ∂B/∂t

(비오-사바르의 법칙)              ▽ · B = 0

(변위전류 포함 암페어 법칙)   ▽ × H = J + ∂D/∂t

 

그럼 파동방정식을 유도 하기 위해서, 회전과 벡터 항등식을 이용할게요.

참고로 라플라시안(laplacian) 정의는 ▽²f = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z²

 ▽ × ( ▽ × E) = ▽( ▽ · E ) - ▽²E = ▽(ρ/ε) - ▽²E   (벡터항등식)

<벡터항등식 증명> 바로 위 E=(x,y,z), xp= ∂ /∂x , yp= ∂ /∂y , zp= ∂ /∂z 라고 하면, 벡터항등식을 실제로 무식하게 전개해 보면 같다! [yp*(-x*yp + xp*y) - zp*(x*zp - xp*z),  -xp*(-x*yp + xp*y) + zp*(-y*zp + yp*z),  xp*(x*zp - xp*z) - yp*(-y*zp + yp*z)] = [-x*(xp**2 + yp**2 + zp**2) + xp*(x*xp + y*yp + z*zp),  -y*(xp**2 + yp**2 + zp**2) + yp*(x*xp + y*yp + z*zp),  -z*(xp**2 + yp**2 + zp**2) + zp*(x*xp + y*yp + z*zp)]

= - ∂( ▽ × B )/∂t = -με ∂²E/∂t² - μ ∂J/∂t

위식을 정리하면, (▽² - με ∂²/∂t²)E = ▽(ρ/ε) - μ ∂J/∂t 을 얻는다.

전하밀도 ρ 와 전류밀도 J가 전기장을 발생시키는 원천임을 보여준다. 즉 전하밀도가 공간적으로 변하든지 전류가 시간적으로 변하면 전기장이 생성된다. 전하밀도와 전류밀도가 없으면, 원천이 없는 파동방정식이 된다.

(▽² - με ∂²/∂t²)E = 0

 

한편, 공간에 대한 두번 미분이 시간에 대한 두번 미분과 같으면 파동방정식이라 하는데,

(▽² - 1/v² ∂²/∂t²) f = ( ∂²/∂z² - 1/v² ∂²/∂t² ) f

미분방정식을 풀기 위해 해(solution)를 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑓(𝑧±𝑣𝑡)로 가정한다. 이 𝑓를 식에 대입하여 계산하면 항상 0이 됨을 확인할 수 있다. 

 

여기서 맥스웰은 파동의 속력을 계산했고, 당시에도 전자기기를 이용한 실험으로 유전율과 투자율을 측정하여 광속을 측정한 실험과 비교해 전자기파의 속도( v = 1/√(εμ)  )가 빛의 속도와 같다는 것을 밝혀내 빛이 전자기파라는 것을 알아냈다.

 

만약 위 파동방정식을 (엄밀하지 못하지만, 직관에 도움을 줄 수 있는)

미분해도 자기 자신이 되는 cos(kz-wt) 함수로 대입해 보면, (▽² - k²)E = 0 된다.

페이저 표현 k × E = wμH , k × H = -wεE 이므로, 고유 임피던스(intrinsic impedance) η = |E|/|H| = √(μ/ε)

여기서 파수(wavenumber) k = w√(εμ) = w/v = 2π/λ [rad/m] 이고, 파수벡터 k = (kx, ky, kz) 이다.

<Hayt의 전자기학 9th 예제 11.1, 균일 평면파> 자유공간에서 정방향 z축에 전파하고, 10MHz의 주파수를 가질 때, 균일 평면파를 구성하는 전계의 복소수 진폭이 E0=100 ax + 20∠30º ay V/m 이면, 균일 평면파의 페이저, 지수함수형태, 실수 순시 계?? 먼저 k = w/c = 0.21 [rad/m] 전계 지수함수 표현은 E(z,t) = Re[ 100e-j0.21zej2π·10**7t ax + 20ej30ºe-j0.21zej2π·10**7t ay ] 일반적인 전계 페이저 표현(Re, 시간항 제거)은 E(z) = [ 100 ax + 20∠30º ay ]e-jkz  실수순시계 E(z,t) = 100cos(2π·10**7t-0.21z) ax + 20cos(2π·10**7t-0.21z+30º) ay

 

자 그러면 이제 위에서 살펴본 특성을 갖는 전자기파를 직접 시뮬레이션해 보도록 할게요!ㄱㄱ

평면파(plane wave) 의 진행 모습

 

여러 파라미터를 변경해 보면서 차이를 비교해 볼 수 있어요.

from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d

T, L = 10, 10
n = 50
ts = arange(0, T, T/n)
z = arange(0, L, L/n)

f = 1
w = 2*pi*f
Lambda = 4
v = f*Lambda
k = w/v   # 파수 wavenumber
kv = [0, 0, 1]

eta = 377   # 고유 임피던스 intrinsic impedance : 377

E = array([]).reshape((-1, 3))
for t in ts :
    E = append(E, array([cos(k*z-w*t), zeros(n), z]).T, axis=0)   # z-axis

H = array([cross(kv, x) for x in E])/eta
H[:,2] = E[:,2]
E = E.reshape((n,n,3))
H = H.reshape((n,n,3))

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(projection='3d')

i=-1
ax.stem(E[i,:,0], E[i,:,1], E[i,:,2], orientation='x', markerfmt='none', linefmt='r', basefmt='none')
ax.stem(H[i,:,0], H[i,:,1], H[i,:,2], orientation='y', markerfmt='none', linefmt='b', basefmt='none')
ax.set(xlabel='x', ylabel='y', zlabel='z')
ax.text(0, 0, 16, 'Time = {:6.1f}'.format(ts[i]), fontsize=10, ha='center', va='center')

plt.show(block=False)

 

여러분의 많은 응원 기대하고, 미리 감사드립니다^^; 

 

<참고자료>

1. 조금은 느리게 살자: 전자기장 파동 방정식(Electromagnetic Wave Equation) (ghebook.blogspot.com)

2. 조금은 느리게 살자: 균일 평면파의 의미(Uniform Plane Wave) (ghebook.blogspot.com)

3. https://blog.naver.com/matphy/40205344161