주파수 변조(FM)와 대역폭, 파워

드디어 일반적으로 널리 쓰이고 실용적 현행 기술인 FM(frequency modulation)을 소개할 기회가 왔습니다.

저도 업무적으로 관련있는 분야라 내식대로 한번쯤 정리해 보고 싶었고,

누군가에게 도움이 되기를 바라는 기쁜 마음으로 시작해 보려합니다.

격려와 응원, 인사를 주시면 많은 힘이 될 것 같아요. !^____^!

 

 

1. FM 신호의 발생

각 변조 방식 중 FM 변조는 일반적으로 많이 활용되고 있으나 PM 변조는 구현의 복잡성 때문에 통신에서 잘 활용되지 않습니다. FM 변조는 공학자 암스트롱(Edwin Howard Armstrong)이 진폭 변조의 대역폭을 줄이기 위해 제안했습니다. 그러나 SSB 변조 방식을 발명한 캐나다의 공학자 카슨(carson)은 각변조가 진폭 변조보다 더 넓은 대역폭이 필요하다는 것을 밝혔습니다. 그럼에도 각변조는 진폭 변조보다 잡음에 강하다는 큰 장점이 있습니다.

s(t) = Ac · cos{wct + kf·∫_-∞^t x(τ) dτ}   : FM modulation

위 s(t)의 위상 Φ(t) = wct + kf·∫_-∞^t x(τ) dτ 이며, (참고로 PM변조는 Φ(t) = kp·x(t) 로 표현)

위상의 시간에 대한 미분값 wi(t) = dΦ/dt = wc + kf·x 를 순시 주파수(instantaneous frequency)라고 하고,

따라서 FM변조 신호의 순시주파수의 범위는 wc - kf · xp ≤ wi(t) ≤  wc + kf · xp 이다. 여기서 xp ≤ |x(t)|

 

각변조는 대역폭에 따라 ① 협대역 각변조(NBFM, NBPM) 와 ② 광대역 각변조(WBFM, WBPM) 로 구분합니다.

 

협대역 각변조는 Ac{ cos(wct) - Φ(t) · sin(wct) } 와 같이 근사화 할 수있고, (아래 s(t)를 exp(x) 멱급수 전개 이용)

이때 신호의 대역폭은 2wB가 되어 DSB변조와 대역폭과 동일하고 모양이 닮았습니다.

Φ(t)<<1 을 만족하는 각변조 신호를 협대역(narrow band) 이라 하는데, DSB변조와 유사하여 대역폭이 줄어들지 않는다는 것을 알 수 있습니다.

 

다음으로 광대역(wide band) 각변조가 있는데, 여기서는 정현파 톤 신호를 FM변조하는 경우를 살펴보고 좀 더 일반적인 신호로 확장해 보겠습니다.

먼저 메시지 신호 x(t) = A · cos(wmt) 인 톤 신호를 생각해 보면,

s(t) = Re[  Ac · exp{ jΦ(t} } ]

= Re[ Ac · exp{jA·kf/wm·sin(wmt)} · exp{jwct} ]

= Re[ Ac · exp{jβ·sin(wmt)} · exp{jwct} ]

여기서 β = A · kf / wm = △w / wm 이고, 이것은 메시지 신호의 최대주파수 wm에 대한 주파수 편이( △w )를 나타내는 것으로 편이비(deviatio ratio) 라고 합니다. 즉 β는 순시주파수의 변화 폭과 곧 변조된 신호의 대역폭을 결정하는 변수입니다.

변조신호가 정현파일 경우 β를 변조지수라고 하고, 일반적으로 β>0.2인 경우를 WBFM이라고 합니다.

 

푸리에 급수, 1종 베셀함수( Bessel function of the first kind, Jn(β) )등 많은 중간 과정생략 끝에...

exp{jβ·sin(wmt)} = ∑_n=-∞ ^∞ Jn(β) · exp{jnwmt} 으로 나타낼수 있고,

위 식을 계속 이어서,,, 

s(t) = Re[ Ac · exp{jwct} · ∑_n=-∞ ^∞ Jn(β) · cos{(wc + nwm)t} ] = Ac · ∑_n=-∞ ^∞ Jn(β) · cos{(wc + nwm)t} 으로 최종 표현할 수 있습니다.

일반적으로 Jn(β)는 n>β+1 이면 FM전력은 무시할 만한 크기(약 1%) 입니다.

따라서 위 식으로부터 주파수가 wm 인 정현파에 FM변조 신호의 대역폭은 아래와 같습니다.

wfm ≒ 2(β+1)wm = 2(△w + wm) [rad/s]

이 관계는 1922년 카슨이 발견하여 카슨의 규칙(carson's rule) 이라고 합니다.

 

임의의 메시지 신호 x(t)에 대해 FM변조를 수행한 결과, 카슨의 규칙이 여전히 만족됨이 실험적으로 밝혀졌습니다.

 

그럼 이제, 메시지 신호 x(t) = A · cos(2π40t) 인 톤 신호를 FM변조하여 스펙트럼 파워와 대역폭을 검증해 보고, 마지막으로 미분을 이용한 FM복조를 수행해 볼게요!

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import hilbert

fs = 4000
T = 1/fs
fc = 1000
fm = 40
endt = 1.5
t = np.arange(0, endt, T) - endt/2
N = len(t)

A = 1
beta = 8   # beta = A * kf / fm
kf = beta * fm / A
f_dev = kf * A

BW = 2* fm* (beta + 1)

x = A * np.cos(2*np.pi*fm*t)

int_x = np.cumsum(x)*T
s = np.cos(2*np.pi*fc*t + 2*np.pi*kf*int_x)

Sk= np.fft.fft(s)
f = np.fft.fftfreq(len(t), T)

th = np.unwrap(np.angle(hilbert(s))) - 2*np.pi*fc*t
y = np.diff( np.array([0, *th]) )/(T*2*np.pi*kf)

fig, (ax, ax2) = plt.subplots(nrows=2)
ax.plot(f[:N//2], 20*np.log10(1/fs*abs(Sk[:N//2])), label=r'$\beta = $'+str(beta))
ax.set_xlabel("frequency")
ax.set_ylim(-80.0, 10.0)
ax.legend()
ax.grid()
fig.tight_layout()

ix = 3000
ax2.plot(t[ix:ix+200], x[ix:ix+200], label='x')
ax2.plot(t[ix:ix+200], s[ix:ix+200], label='s')
ax2.set_xlabel("time")
ax2.legend()

plt.show(block=False)

 

NBFM BW = 96 Hz

WBFM BW = 160 Hz

 

WBFM BW = 720 Hz

 

FFT 계산 Sk[fc + n*fm] 을 통해 1종 베셀함수(β=8)값을 근사적으로 구할 수 있었다.

[-0.12636559  0.22358281 -0.32050588  0.33682111 -0.18466005 -0.10483792
  0.28755263 -0.11065041 -0.22916813  0.16595886  0.22549947 -0.1071324
 -0.27392522 -0.09825057  0.17022809  0.30536743  0.28571381  0.19592711
  0.10882187]

 

WBFM BW = 720 Hz

일반적인 메시지 x=sinc(2*40*t)로 확장한 결과 카슨 대역폭 내 전력이 소수 첫째자리에서 반올림하여 100% 집중됨을 확인할 수 있다.

 

FM 신호를 발생시키는 데는, ① 변조 신호를 VCO에 인가하여 직접 변조된 파형의 주파수를 발생시키는 방식과,

② 변조 신호를 먼저 NBFM 변조한 후 주파수체배기 특성을 이용하여 WBFM 신호를 발생시키는 간접 발생방식이 있습니다. 

암스트롱의 간접FM변조 방식은 일반적으로 사용되는데, 그 이유는 값싸게 구현할 수 있기 때문이고, 또한 VCO의 주파수 안정도가 낮은 반면에 비교적 저주파의 안정된 수정 발진기를 사용하여 주파수 안정성이 좋은 장점때문입니다.

 

2. FM 신호의 복조

① PLL을 이용한 복조, ② 미분을 이용한 복조가 있습니다.

슈퍼헤테로다인 수신기의 경우 AM은 IF주파수 455 kHz, FM은 IF주파수 10.7 MHz 를 사용하여 주파수 분할 다중화(FDM)된 변조 신호 중 원하는 신호를 복원하는 장치입니다.

 

오늘은 요기까지 입니다. 근데,,, 베셀이 상당히 어렵네요.

 

<참고자료>

① 디지털통신과 MATLAB /SIMULINK, 양원영 등, 도서출판 홍릉

② 원리로 이해하는 통신이론 (Analog & Digital Communications), 한동석, 한빛아카데미