코리올리(Coriolis) 가속도 시현

간간히 이런 생각이 듭니다. 내가 이렇게 취미로 블로그 활동조차 하지 않았다면, 얼마나 인생이 단조롭고 따분했을까?

물리공부가 조금 고될 때도 있지만, 뭔가에 집중하고 보람과 즐거움도 있는 것 같습니다. 

비록 인류사에서 오래 전 과학자들이 공고히 이룩한 이론과 정리들이라 하더라도, 컴퓨터의 힘을 빌려 시현하고 검증해 보는 행위가 저는 무척 재미있고 좋아하는 것 같습니다. 그런 과정에서 세상에 대해 좀 더 알아가게 되고, 전리품처럼 멋진 아이템을 얻는 느낌이랄까? 저는 그렇게 의미를 부여하고 공부(?삽질?) 하고 기록을 남기고 있습니다.^^;

몇 안되는 여러분,,, 공감과 응원댓글은 큰 힘이됩니다! 감사드리고, 더 공유할 수 있도록 할게요!!!

 

두둥~! 이번 주제는 코리올리 가속도 시현입니다. 우리가 관찰하는 지구과학의 자연현상을 제법 많이 설명할 수 있어요. 

상대성 이론에서는 멘탈이 나갔지만, 이번에는 나름 야심차게 준비했습니다. 어쩌면 킬러 컨텐츠가,,,ㅋㅋ

먼저 코리올리 가속도식을 라그랑지안을 이용해 도출하고, 대표적인 몇가지 예시로 체감될 수 있도록 비주얼하게 시현해 보는 것이 목표입니다.

 

먼저 우리가 관찰하는 모든 자연현상의 무대가 되는 지구의 자전을 비주얼하게 표현해봤으니,

이글 끝날때까지 계속 상상해 주세요^^;

시계반대방향으로 도는 웅장한 지구(Blue Marble)

 

from mpl_toolkits.basemap import Basemap
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation
 
fig = plt.figure(figsize=(7,7))
 
def update(frame):
    plt.clf()
    m = Basemap(projection='ortho', resolution='l',lat_0=0, lon_0=frame)
    m.drawcoastlines()
    m.drawparallels(range(-180,180,30))
    m.drawmeridians(range(-180,180,30))
    m.bluemarble()
     
ani = FuncAnimation(fig, update, frames=range(360, 0, -5), repeat=False)
ani.save('Earth Rotation.gif', writer='imagemagick', fps=6, dpi = "figure")
plt.show()

 

<미분방정식 유도> BOAS 수리물리학 p497 참고 

라그랑지 방정식을 이용하여 2차원(원판) 극좌표변수 (r, Φ)로 입자의 운동방정식을 구하면,

ds² = dr² + r²dΦ²     →     v² = (ds/dt)² = r'² + r² Φ'²

L = T - V = 1/2 m(r'² + r² Φ'²) - V(r, Φ)

변수 r, Φ 에 대한 라그랑지 방정식을 풀어 정리하면,

a_r = r'' - rΦ'²     2번째 항은 속도가 v=rΦ' 일때 구심가속도 v²/r 이다.

a_Φ = rΦ'' + 2 r'Φ'   2번째 항이 바로 Coriolis 가속도 라고 한다.

 

이제 나의 꼼수가 출현한다. 이제 3차원 구좌표계(R, θ, Φ)로 지구를 생각해 보자! θ, Φ는 각각 (rad) 위도, 경도로 정하자.

지구는 Φ 방향으로 자전하고, 입자는 Φ와 수직하게 θ방향으로 발사한다고 아래 그림처럼 생각해보자.

r = R cos(θ) 으로 표현할 수 있고, r' = -R sin(θ) θ' 이고, 이를 위 코리올리 가속도항에 대입하면,

(편의상 R=1, 자전방향 Φ으로 힘과 가속도 방향을 일치시킴)

a_Φ = 2R sin(θ)θ'Φ'  로 표현할 수 있다. 따라서 전향력 F_Φ = 2 m (v × w) 표현도 가능하다 (v=Rθ' , w는 자전축 벡터) 

 

마지막으로,,, 이전에 구한 측지선방정식(대원 위를 등속도로 이동하는 해)에 위 코리올리 가속도항을 더 해주면 아래 최종식을 얻는다.

θ'' = - cos(θ) sin(θ) Φ'2 Φ'' = 2 tan(θ) θ' Φ' + 2 sin(θ) θ' Φ'

 

수식을 제외하고 직관적으로 이해할 수도 있다. 코리올리 힘의 발생원인은 각운동량 보존법칙에 의해 발생한다. 
즉 회전하는 좌표계 내에서 물체가 운동을 하는 경우 회전축에 대해 반지름이 줄어드는 경우에는 줄어드는 반지름에 대해 속도가 변화하게 된다. 이 결과 회전좌표계는 코리올리힘과, 가로힘이 발생한다.

 

물체의 속력에 따른 코리올리 가속도 시현

 

1. 대륙간 탄도 미사일(ICBM : intercontinental ballistic missile, 사거리 5500km 이상, 시속 8000 km/h)

<우주 로켓과 ICBM의 차이>  출처 : https://ko.wikipedia.org/wiki 우주 로켓의 최종 목표는 추력 (推力·Thrust, 단위는 뉴턴)와 비추력 (比推力·Specific impulse, 단위는 초)을 크게 늘려서, 인공위성 궤도에 올릴 수 있는 페이로드 중량을 최대로 늘리는 것이다. 반면에 ICBM의 최종 목표는 비추력을 올리는 것보다는 빠르게 발사하는 능력과 최초의 적의 공습에 살아남는 생존성이다. 이 차이점으로 인해, 차세대 우주 로켓이 극저온 연료(cryogenic fuel)를 사용하여 비추력을 극대화하는 것에 비해, 차세대 ICBM은 이동식에 고체 연료를 사용하도록 방향이 달라지게 된다. ICBM은 최소 시속 8,000km, 인공위성 발사용 로켓은 시속 29,000km의 속도를 갖는다. 그러나, ICBM이 반드시 고체연료를 사용하는 것은 아니다. 러시아의 ICBM의 상당수가 액체 연료를 사용하였다. 일반적으로 액체 연료는 발사 직전에만 연료를 주입해야 하며, 연료 주입 시간이 오래 걸리기 때문에 정찰위성에 포착된다. 그러나 액체 연료라도, 하이드라진은 장기보존이 가능하므로, 러시아의 탄도유도탄은 액체 연료가 많다. 반면에, 고체 연료는 일단 유도탄을 제작, 배치해 놓으면, 발사 버튼만 누르면 된다. 고체 연료는 액체 연료보다 강한 추력을 내는 것은 기술적으로 용이하지만, 비추력에는 약하다. 발사 이후 비행체의 궤적을 살펴보면 탄도유도탄인지, 위성 발사체인지 쉽게 구분이 가능하다. 즉, 우주발사체는 수직으로 발사되고 탄도유도탄도 수직으로 발사되기는 하나, 곧바로 30도 각도로 누워서 날아간다. 그래야 최대의 사거리를 낼 수 있다.

적도 지역은 지구 자전에 따른 원운동 속도도 크다. 이를 이용해 로켓의 가속도를 높이는 데 필요한 에너지를 줄일 수 있다. 우리나라 우주발사장도 국토 최남단에 가까운 전남 고흥 외나로도에 있다.

 

2. 저격용 소총 총알속도(사거리 3km, 평군시속 1440 km/h)

저격에 성공하기 위해선 중력을 비롯해 바람, 고도, 온도, 습도, 코리올리 효과(전향력) 등 물리적인 요소를 과학적으로 고려해 의도적으로 오조준을 해야 한다

영화 '아메리칸 스나이퍼'는 적군에게 '라마디의 악마' 라 불린 실존 저격수 크리스 카일의 이야기를 담았다.

처음 총알 발사 시 900~1000 m/s 속도로 발사되지만 공기저항으로 줄어들기 때문에 평균속도 약 400 m/s 로 단순화하고,

적도에서 정북방향으로 발사된 저격용 탄환의 궤적 3km를 가정해 보면, 사거리가 상대적으로 작지만 코리올리 효과에 의한 오차가 오른쪽으로 78.3 cm 로 계산됩니다.(물론 간략한 계산임)

 

3. 초음속 전투기(KF-21 보라매, 마하 1 음속 1224 km/h)

마하 1(초속 340 m/s) 돌파 시에는 기체에 충격파가 발생하고 주변 공기 흐름이 불안정해져 항공기의 구조 건전성에 중대한 영향을 미칠 수 있다. KF-21는 음속 돌파 시 발생하는 충격파를 극복해 정상 비행을 해내며 것은 초음속에서의 안정성을 보여줬다. 참고로 보라매는 '태어난 지 1년이 안된 매(아직 털갈이를 안 한 보랏빛 매)'를 의미한다.

KF-21은 총 6대의 시제기가 제작돼 각종 시험을 실시했거나 앞두고 있다. 21년 4월 시제 1호기 출고에 이어 지난 해 7월 1호기 최초 비행시험을 시작으로 11월 시제 2호기 최초 비행, 올해 1월 시제 3호기 최초 비행과 첫 초음속 비행에 성공했다. 2월에는 시제 4호기 최초 비행, 3월에 AESA 레이더 탑재 시험과 야간비행 시험을 진행한 데 이어 공대공 중거리 미사일인 ‘미티어’ 분리와 기총발사 시험도 했다. 4월에는 단거리 공대공 미사일인 AIM-2000 발사 시험에 성공했다.
방사청은 마지막 시제기인 6기의 첫 비행도 조만간 실시할 예정이며 연말이나 내년 초에는 공중급유 시험을 할 예정이다. 무장의 마지막 단계인 공대지 미사일 장착및 시험은 2024~2025년으로 예상된다.

국산 한국형 전투기 KF-21이 2023.1.17. 약 12.1km 고도를 비행하면서 음속(마하 1 시속 약 1224km)을 돌파했다. 초음속 전투기를 독자개발한 국가는 7개국뿐이다.

 

4. 프로펠러기 속도(시속 500 km/h)

양력 발생에 필수적인 추진력을 얻기 위한 엔진으로는 프로펠러 엔진, 제트 엔진, 로켓 엔진 등이 사용된다. 프롭기란 프로펠러 항공기의 줄임말로, 이름대로 프로펠러로 추진력을 얻어 비행하는 항공기를 말한다

소형항공사 하이에어, 50인승 ATR 72-500

 

5. 편서풍, 태풍(이동속도 약 30 km/h) 등

무역풍, 편서풍, 극동풍에 의한 대기순환

편서풍은 북위·남위 30~60도인 중위도의 서쪽에서 동쪽으로 부는 바람을 말한다. 북반구에서는 남서쪽에서, 남반구에서는 북서쪽에서 동으로 분다. 적도에 가까운 북·남위 0~30도의 저위도에서 서쪽으로 부는 것은 무역풍이라고 한다.
한반도는 북반구 중위도에 속하므로 편서풍의 영향을 많이 받는다. 고기압이나 저기압 등의 기압계가 이 바람을 타고 서에서 동으로 이동한다. 중국의 미세먼지와 황사가 한국으로 오고, 일본 후쿠시마 원전의 방사능 물질이 태평양 쪽으로 가는 게 이 때문이다. 중국으로 향하던 태풍이 한국이나 일본으로 휘어지는 경우도 이에 해당한다.

북반구에 실제 모델링한 무역풍, 편서풍, 극동풍 시각화

 

우리나라에서는 여름철에 육지가 빨리 데워져 남동풍이 자주 불고, 겨울철에는 북서풍이 불게 된다.(계절풍)

태풍 중심의 강력한 저기압으로 주변 공기가 빨려 들어갈 때 반시계 방향으로 회전하는 공기 흐름이 형성된다. 
따라서 늦여름 북서쪽으로 진행 중인 태풍의 오른쪽 회전력은 더 강해지고 왼쪽은 약해진다.

태풍처럼 강력한 저기압을 반시계 방향으로 소용돌이 치는 stream으로 시각화하고 싶었으나,

아쉽게도 아래처럼 흉내 정도로, 반시계 방향으로 회전하는 저기압을 유추할 수 있는 것으로 만족해야겠다.

코리올리 효과에 의한 저기압 시각화

고기압성 폭풍은 저기압의 영역 주위를 코리올리 효과에 따라 방향이 결정되는 방향의 반대로 부는 폭풍이다. 북반구에서는 반싸이클론 폭풍은 시계방향의 바람 흐름이며 남반구에서는 반시계방향의 바람 흐름이다.주로 적란운이나 적운이기 때문에 뇌우가 내린다. 반싸이클론 폭풍은 차가운 날씨를 동반하며 큰 눈폭풍을 일으킨다. 목성의 대적점이 잘 알려진 지구외의 반싸이클론 폭풍이다.

해양학에서 환류(gyre)는 순환하는 해수면 해류의 대규모 시스템, 특히 큰 바람의 움직임과 관련된 시스템을 의미하는데, 환류 또한 코리올리 효과로 인해 발생한다.

Ocean gyre

목성의 대적점(大赤點·목성의 남위 20도 근처에서 관찰되는 붉은색 타원형 반점)은 반시계 방향의 소용돌이다. 지구의 3배 크기이고 시속 400㎞의 초강풍에다 수백 년 지속한 대형 폭풍이다. 엄청난 규모지만,,, 정말 감조차 잡기 힘들다.

 

마지막으로,,, 세면대 배수구로 물이 빠지는 방향(반시계, 시계 방향)으로 북반구인지 남반구인지 구분할 수 있을까?

 

결론부터 말하면 ‘이렇게 작은 규모’에선 코리올리의 힘을 눈으로 관찰하기 어렵다고 한다. 훨씬 더 큰 규모에서 매우 정교한 과학 실험을 거쳐야 확인할 수 있다.

 

<참고자료>

1. C/C++ 반복-이완 계산법으로 알아보는 비행경로 (tistory.com)

2. 정신력·집중력+물리학 지식이 ‘전설의 저격수’ 만들었다｜동아일보 (donga.com)

3. 태풍 회전력의 숨은 원리 코리올리의 힘 | 한국경제 (hankyung.com)