원뿔 곡선의 아름다움과 망원경 활용

이전 게시글(빛의 경로 계산)의 심화 연장으로, 이번에는 원뿔 곡선(타원, 포물선, 쌍곡선)의 초점에서 출발한 빛살들의

경로를 그려보고 기하학적 아름다움을 감상해 보도록 하겠습니다.

 

먼저 원뿔곡선(이차곡선)에서 어떻게 타원, 포물선, 쌍곡선이 만들어 질 수 있는지 가장 간단한 예를 들어

발(?)검증해 볼게요.

원뿔의 다양한 절단면(Conic Curve)

원뿔(Cone) : x² + y² = z²     ,     절단면 : a'x + b'y +c'z = d

두 식을 연립하면, 이차곡선 : ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 이 된다.

원뿔 식에 z=c (평면) 를 대입하면,  x² + y² = c² (원)

원뿔 식에 y=c (평면) 를 대입하면,  z² - x² = c² (쌍곡선)

원뿔 식에 z=x+1, b'=0 (평면) 을 대입하면, y² = 2x + 1 (포물선)

원뿔 식에 z=1/√2*x+√3, b'=0 (평면) 을 대입하고 정리하면, (x-1/√2)² + y²/2 = 1 (타원)

 

그럼 본격적으로 원뿔 곡선의 아름다움을 감상해 볼게요.

더불어 관련있는 망원경을 연상해 주시면 좋겠습니다!

※ 망원경 사진은 두산백과에서 퍼왔습니다

1-1. 타원의 초점에서 발생한 빛살들(굴절과 반사)

뭔가 휘황찬란한 촛불을 바라보는 것 같은 느낌이 나네요. 파인애플 같기도 ,,,

굴절망원경(갈릴레이식, 케플러식)

제가 가진 코동도 역상이 보이는데, 케플러식 굴절 망원경인가 봅니다^^;

1-2. 타원의 초점에서 다른 초점으로 완전 반사

타원은 한 초점에서 출발한 빛이나 파동이 반사되 다른 초점으로 모이는 아름다운 물리현상을 볼 수 있어요.

그레고리 반사망원경

캬~ 멋지네요

2. 포물선의 초점에서 발생한 빛살들(굴절과 반사)

포물선의 초점에서 시작한 빛살이 x축과 평행한 직선으로 반사되어 나가는 현상을 볼 수 있고, 역으로 지면과 평행하여 입사되는 빛은 초점으로 모이는 현상도 상상할 수 있습니다.

뉴턴식 반사망원경

천재 뉴턴은 별빛이 렌즈를 통과하면서 색깔별로 굴절되는 정도가 다르기 때문에 정확하게 한 점에서 모이지 않고 색수차를 일으킨다는 점에 착안하여 빛이 반사되는 것만을 이용한 망원경을 연구하고 개발했습니다.

3. 쌍곡선의 초점에서 다른 초점으로 완전 반사

쌍곡선의 한 초점으로 향하는 빛살들이 완전반사하여 다른 초점으로 모이는 현상을 볼 수 있어요.

카세그레인식 반사망원경

 

자연현상을 잘 관찰하고 모사하다보면, 어떤 해법이 생기나 봅니다!