삼각함수, 쌍곡함수, 역함수 등 다양한 미분 정리

안녕하세요. 오랜만입니다.

요즘 블로그 소재가 내 체력이 함께 점점 고갈되는 슬픈 느낌이 듭니다.

조급함과 힘이 조금 들더라도, 장거리로 나만의 컨셉과 컨텐츠로 꾸준히 이어가도록 맘을 다잡아야겠습니다.

뭐 대단한게 있겠냐마는,,,ㅎㅎㅎ

빛의 물리학에 관한 것만 더 공부하여 정리한 후, 업무와 재테크, 그리고 이런저런 일상의 주제 위주로 글을 쓸 계획입니다.

내맘대로 아마추어 블로그가 참 편합니다.ㅎㅎㅎ 그래도 누적방문수 1만명이 멀지않았으니 제법이쥬?! 꾸벅꾸벅

그럼 이제 본론으로 돌아와서, 물리학과 수학을 공부하면서,

늘 아쉽고 찜찜하게 그러려니 넘어가던 대표적인 미분형들을 이번에 정리할 생각이에요.

다소 친절하진 못하더라도 나중에 실용적이고 참고가 되니 잘 봐 주세요!

1. y = sin^-1(x) ☞ y' = 1/√(1-x²)

x=sin(y) → dx/dy = cos(y) 여기서 y'를 x의 함수로 표현하기 위해 dy/dx = 1/cos(y) = 1/√(1-sin²(y)) = 1/√(1-x²)

2. y = cos^-1(x) ☞ y' = -1/√(1-x²)

x=cos(y) → dx/dy = -sin(y) 여기서 y'를 x의 함수로 표현하기 위해 dy/dx = -1/sin(y) = -1/√(1-cos²(y)) = -1/√(1-x²)

3. y = tan^-1(x) ☞ y' = 1/(1+x²)

x=tan(y) → dx/dy = sec²(y) 여기서 y'를 x의 함수로 표현하기 위해 dy/dx = 1/sec²(y) = 1/(1+tan²(y)) = 1/(1+x²)

sinh(x) = (e^x - e^-x)/2 = 1/csch(x) , cosh(x) = (e^x + e^-x)/2 = 1/sech(x) , tanh(x) = (e^x - e^-x)/(e^x + e^-x) = 1/coth(x)

cosh²(x) - sinh²(x) = 1 , 1-tanh²(x) = sech²(x)

1. sinh(x)' = cosh(x)

2. cosh(x)' = sinh(x)

3. tanh(x)' = sech²(x)

1. sinh^-1(x) = ln[x + √(x²+1)]

x=sinh(y)=(e^y - e^-y)/2 여기서 y를 x의 함수로 표현하기 위해 x=(e^y- e^-y)/2 , √(x²+1)=(e^y+ e^-y)/2를 이용하면

→ ln[x + √(x²+1)] = ln[ e^y ] = y = sinh^-1(x)

2. cosh^-1(x) = ln[x + √(x²-1)]

x=cosh(y)=(e^y + e^-y)/2 여기서 y를 x의 함수로 표현하기 위해 x=(e^y+ e^-y)/2 , √(x²-1)=(e^y- e^-y)/2를 이용하면

→ ln[x + √(x²-1)] = ln[ e^y ] = y = cosh^-1(x)

3. tanh^-1(x) = 1/2 ln[ (1+x)/(1-x) ]

x=tanh(y)=(e^y - e^-y)/(e^y + e^-y) 여기서 y를 x의 함수로 표현하기 위해

1+x=2e^y/(e^y + e^-y) , 1-x=2e^-y/(e^y + e^-y) 를 이용하면 → ln[ √((1+x)/(1-x)) ] = ln[ √e^2y ] = y = tanh^-1(x)

1. y = sinh^-1(x) ☞ y' = 1/√(x²+1) 단 all real x

x=sinh(y) → dx/dy = cosh(y) 여기서 y'를 x의 함수로 표현하기 위해 dy/dx = 1/cosh(y) = 1/√(1+sinh²(y)) = 1/√(x²+1)

2. y = cosh^-1(x) ☞ y' = 1/√(x²-1) 단 x>1

x=cosh(y) → dx/dy = sinh(y) 여기서 y'를 x의 함수로 표현하기 위해 dy/dx = 1/sin(y) = 1/√(cos²(y)-1) = 1/√(x²-1)

3. y = tanh^-1(x) ☞ y' = 1/(1-x²) 단 -1<x<1

x=tanh(y) → dx/dy = sech²(y) 여기서 y'를 x의 함수로 표현하기 위해 dy/dx = 1/sech²(y) = 1/(1-tan²(y)) = 1/(1-x²)

거부감만 쎌 뿐이지, 의외로 간단한 문제입니다^^;

digital explorer