특수상대성 이론 요약

이번 주제는 아인슈타인의 특수상대성이론에 대해서 공부하고 정리하기 위함이 주 목적이며, 행여 누군가에 도움이 되길 바라면서 작성하였습니다.

이미 인터넷에는 같은 주제로 훌륭한 여러 강좌가 있는 것으로 아는데, 제 컨텐츠의 비교적 장점은 '핵심요약'을 꼽고 싶네요. 현대인들이 자세하고 긴 텍스트들을 보면 난독증이 있다던데, 저도 딱 그랬습니다. 많은 정보에 지레 지치고, 핵심을 놓치고, 나무와 숲을 잘 분간하지 못하고 헤맸다고 할까요. 그래서 이 글은 특수상대성이론을 핵심만 잘 추려 한 눈에 쉽게 보고 싶어하는 사람들에게 맞춰졌다고 볼 수 있습니다. 

본 글은 대학물리 교재와 인터넷에 여러 '상대성이론' 대가들의 블로그를 두루 참고하였으며, 난해하고 힘들어서 제법 시간과 노력이 소요되었습니다. 원래는 일반상대성이론까지 쭈욱 이해하고 싶어 평소보다 더 엄밀한 수학을 기초부터 해보려고 노력했지만, '텐서' 응용은 도저히 극복이 안됐습니다.(몸으로 체득되지 않으면 고난의 연속ㅠㅠ) 이번생에 가능할 지 의문이지만, 천천히 욕심부리지 않기로 했어요.ㅎㅎㅎ

        

특수상대성이론에선 '로렌츠변환'이 중요한데, 이 부분은 ①대학물리 교재를 통한 간단한 방법과 ②일반적이며 다소 직관력을 높일 수 있는 방법 두가지를 소개하려 합니다. 그리고나서 ③상대론적 운동량과 에너지 식을 유도하겠습니다!

 

 

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먼저,,, 아인슈타인의 상대성이론은 다음과 같은 과감한 두가지 가설에 근거를 두었다.

1. 상대성 원리 : 모든 물리 법칙(역학, 전자기학, 광학, 열역학 등)은 모든 관성 기준틀에서 동일하다.

2. 빛 속력의 일정성 : 진공 중의 빛의 속력은 모든 관성 기준틀에서 관측자나 광원의 속도에 관계없이 일정한 값을 갖는다.

 

① 로렌츠 변환

기차안에서 관측자O' 와 정지한 관측자O 가 관찰한 사건(손전등 빛반사)

빛은 기준틀 O에서 같은 속력으로 더 먼 거리를 진행하기 때문에 O가 측정한 시간간격 △t는 O'이 측정한 시간 간격 △tp 보다 더 길다.

(c△t / 2)² = (v△t / 2)² + d², △tp = 2d/c 이므로 △t = △tp/√(1-v²/c²) = γ△tp  여기서 γ = 1/√(1-v²/c²) 

즉 △t >△tp 인 효과를 시간팽창(time dilation) 이라고 한다.

 ※ 고유시간간격 △tp 은 공간상의 같은 위치에서 일어난 두 사건을 본 관측자가 측정한 두 사건 사이의 시간 간격 정의함

 

쌍둥이 역설(the twin paradox) : 형 F와 동생 S라는 쌍둥이가 있다. F는 지구에서 행성 X로 우주선 여행을 떠나는데, 지구에 남아 있는 S의 관성틀에 대해 0.95c 까지 속력을 낼 수 있다. F는 행성 X에 도착하고 곧바로 같은 속력 0.95c로 지구로 되돌아온다. 되돌아와서 보니 F는 13년밖에 안 지났는데, S는 벌써 42년이 지나 충격을 받았다.

F는 우주선 여행하는 동안 가속도와 감속도를 경험하게 되고 그 결과 그의 속력은 언제나 일정한 것이 아니다. 결국, 그는 언제나 관성 기준틀에 있던 것이 아니고, 관성 기준틀에 있는 S만이 특수 상대성 이론에 근거한 올바른 예측을 할 수 있고 여기서는 모순 되지 않는다. 따라서 S는 F가 42살이 아닌  42 / γ ( = 1/√(1-v²/c²) ) = 13살 더 먹었음을 알게 된다! (헉,,, 충격)

 

두 점 사이의 측정된 거리는 기준틀에 따라 달라진다. 물체의 고유길이(proper length)란 물체에 대해 정지해 있는 사람이 측정한 물체의 길이이다. 물체에 대해 움직이고 있는 기준틀에서 측정한 물체의 길이는 항상 고유길이 보다 작다. 이런 효과를 길이수축(lenght contraction)이라 한다.

한 별에서 다른 별로 속력 v로 움직이는 우주선을 한 사람은 지구에서, 또 한 사람은 우주선에서 관찰한다고 하자.

지구 관측자의 기준틀에서 △t = Lp/v , 우주선 관측자는 △tp = △t/ γ , L = v△tp = Lp/ γ

정리하면, 1/γ 은 1보다 작으므로 우주여행자는 고유 길이보다 짧은 거리를 측정한다. 바로 길이수축 이다.

 

② 일단 분량 상 생략, 다음에 별도로 블로그할 예정(제법 시일이 걸릴듯요...)

 

③ 상대론적 운동량과 에너지 식

아인슈타인 가설에 의하면 물리법칙(운동량)이 모든 관성 기준틀에서 같아야 하므로, 두 입자의 충돌(속도 u)이 정지 기준틀S에서 일어나고 그 틀에서 측정한 운동량과 v속도로 움직이는 기준틀 S'에서 측정한 운동량이 같아야 한다. m u = m' u'

그런데 시간팽창때문에 S' 기준틀에서의 시간은 느리게 가고 u'의 속력이 느려지므로(u'=u/ γ) 질량이 증가하는 효과로 볼 수 있다.(m'=γ m)

따라서 운동량 보존의 원리가 성립하는 질량 m인 입자의 상대론적 운동량의 식은 p = (m u)/√(1-u²/c²) = γ m u 이다.

 

앞서 자동차의 출력(마력), 토크 (tistory.com) 에서 언급한 바와 같이 입자에 작용한 알짜힘이 한 일(W)은 입자의 운동에너지 변화(△K)와 같다는 일-운동에너지 정리를 상기하자. W = △K = K - 0 = ∫ F dx = ∫ dp/dt dx

 ※ K(운동에너지) = 물체가 외부에 일할 수 있는 능력

 

이제 조금 복잡한 계산을 해야되는데,,,

dp/dt = d/dt( mu/√(1-u²/c²) ) = m(du/dt) /(1-u²/c²)^3/2  와  dx = u dt 를 위에 일-운동에너지식에 대입하면 다음과 같다.

K = ∫₀^t m(du/dt)u dt /(1-u²/c²)^3/2 = m ∫₀^u u /(1-u²/c²)^3/2 du   이를 적분하면 다음과 같다.

K = mc² /√(1-u²/c²) - mc² = γmc² - mc²

 ※ 이항전개 (1-x²)^-1/2 ≒ 1 + 1/2 x² + ...(x<<1) 을 이용하면, 느린속력에서 고전적인 식 K = 1/2 mu² 이 된다. 

위 식에서 상수항 mc²은 입자의 속력과 무관하며, 이를 그 입자의 정지 에너지(rest energy) E_R이라 한다. E_R = mc²

γmc²는 입자의 속력에 의존하며 운동 에너지와 정지 에너지의 합이다. 전체 에너지 E = γmc² = K + E_R

 

다 왔다!ㅎㅎ 밥상은 다 차려졌고,,, 이제 구해진 수식을 통해 물리적 의미를 음미해보자!

ER = mc² 는 질량이 에너지의 한 형태임을 보여주는 식이다. 또한 작은 질량이라도 엄청난 에너지에 해당함을 나타내는데, 이것은 핵물리학과 소립자 물리학에서 기본적인 개념이 된다. 뿐만아니라 (뉴턴의 만유인력 법칙이 중력은 질량과 질량 사이의 상호작용임을 기억하면) 에너지는 중력이론과 밀접하게 관련되어 있는 수식이기도 하다.

 

대부분 한 입자의 속력을 측정하기보다는 운동량이나 에너지가 측정된다.

그러므로 전체 에너지 E가 상대론적인 운동량 p에 관련된 E² = p²c² + (mc²)² 식을 이용하는 것이 좋다.

광자(질량이 없고, 전하도 없는 빛 알갱이)와 같이 질량이 0인 입자의 경우는 E = pc 와 같이되고, 이 식은 항상 빛의 속력으로 움직인는 광자에 대해 에너지와 운동량을 관련시키는 정확한 표현이다.

 

<참고>

1. 최신 대학물리학 I 5판

2. 특수상대론 101 (김찬주 교수님) https://contents.premium.naver.com/cjkim/knowledge/contents?categoryId=17da4f40754000ixa&stype=oldest

3. 퇴학원생의 물리이야기 상대성 이론의 조망도 : 네이버 블로그 (naver.com)

 

여러분! 우연히도 이제 곧 핵개발과 관련한 블록버스터 '오펜하이머' 영화가 개봉한답니다.
대단한 물리학자들이 총출동할 것 같은데, 재미있게 즐기면서 아인슈타인이 어떤 역할을 할지
만나보시길 바랍니다^^;